寂静春天里的动力学（上）

作者：孟子杨（中科院物理所副研究员）    

解题

北京的春天，短暂而狂躁，万物的复苏和生长都在让人猝不及防的时间中完成，该发生的和不该发生的事，都在一场沙尘暴、几场春雨和几场雾霾的夹裹之下，生生地走进这熙熙攘攘的世相里，让人只有接受的份儿。

生活在这样狂躁之中的人，很难不被如此的气氛所影响和蛊惑，做出些本来可以不做、几年后回想会脸红追悔的事儿来。就算是在相对平静的自然科学研究圈子里，春天也让人变得狂躁。目之所及，就看到有的人上下交通、攀附权贵，想在科研投入的大饼中多切下一块来；有的人炒作概念，利用社会大众的知识缺陷和猎奇心理，哄骗着不少不明就里的学生走上研究的不归路；有的人酷爱折腾，不断地举行重复性的学术会议，以所谓聚集人气的方式哄抬自身的学术地位。种种动作，往往偏离了科研的本意，但是在表面上制造出一派熙熙攘攘热热闹闹的混乱局面，让人看不清底细，只有接受的份儿。接受者还好，可惜的是盲从和咸与维新者，最后追悔的，往往是这些人。

入题

在这样混乱嘈杂的春天里，哪里能找到寂静，哪里能找到新的生机酝酿时静默却不可阻挡的力量，是考验从业人员实力、修为和气魄的大问题。春天当然是动态的，但是动态要有一个静的表面，新发现孕育的时候如林间的野花幼苗，阳光雨露之下静却决绝。一开始就熙熙攘攘热热闹闹，混淆了心智，耗尽了力气，怎么可能看到成熟和收获呢？

就是在这样的考虑之下，笔者和朋友们决定在凝聚态物理学量子多体计算的领地中，在这个春天里培育一株幼苗，小心地浇灌它，期望它成长为凝聚态物理学量子多体计算领地中的大树。这株幼苗，就是量子多体系统的动力学性质计算。

量子多体系统的动力学性质计算，笔者在之前的文字中有过介绍【1】，涵盖量子多体系统的谱学和输运行为计算，比如关联电子材料中的准粒子谱，量子磁学和高温超导系统中的自旋激发谱，还有关联电子材料中最基本的电阻、热输运测量等等。这些能量、动量、温度依赖的响应函数中蕴含着量子多体系统的本质信息，而且它们就是凝聚态物理实验直接测量的物理量，比如角分辨光电子谱测量的就是关联电子材料的电子结构（即准粒子能谱），而中子散射、核磁共振测量的就是量子磁学材料中的自旋激发谱。电阻和输运测量的重要性更是自不待言，远有近藤、量子霍尔效应，近有铜基、铁基高温超导体中的非费米液体行为，都是由电阻和输运测量所揭示的现象。然而，如笔者在之前的文字【1】中所写，动力学性质计算，从理论上来讲是十分困难的问题，这关乎准确计算指数多的、强烈相互作用的自由度的时间演化，是几近不可能完成之任务。动力学性质计算是量子多体系统理论发展中的核心问题，它的解决可以让凝聚态物理学中许多难题，比如高温超导机理和量子相变临界行为的完整描述，得到彻底地解释。

完整地解决量子多体系统动力学性质计算的问题，兹事体大，目前并没有统一的方案。我们所进行的研究，是发展和应用以量子蒙特卡洛（quantum Monte Carlo, QMC）和随机解析延拓（stochastic analytic continuation, SAC）为代表的大规模数值计算方法，通过合理地设计量子多体系统理论模型，定量地计算其动力学性质，然后把结果与以场论、重整化群为代表解析方法得到的定性预期进行比较，得到统一的认识之后，再用来解释和指导实验观测。这样数值、解析结合，再来对比和预言实验现象的方法，就是量子多体问题动力学计算的方向。在之前的文字中【1】，笔者讲述了这样的方法在二维反铁磁海森堡模型能谱计算中取得的结果，并且和最新的中子散射实验进行了定量的对比，这是一个基准性的工作【2】，算对了，和实验对上了，我们才开始下面的工作，才有了下面的文字。

正题

在这个狂躁的春天里，我们努力让自己静下心来，不随波逐流、咸与维新，而是默默地完成了几个量子多体问题动力学计算的新事例。这篇文章分为两个部分，分别介绍其中的两个事例。一个是自旋液体存在的指纹，揭示了对称性分数化在具有拓扑序的量子自旋液体中，在自旋激发谱上的特殊表现形式【3】；另一个是去禁闭量子临界点谱学行为的展示，给出了分数化的自旋子实验观测行为的预言【4】。这两个例子都是量子物质科学新范式的代表，超越了传统的、以序参量和对称性破缺为圭臬的朗道-金兹伯格-威尔森（LGW）相变和物质分类理论框架。

事例一

量子自旋液体是拓扑序的材料实现，尤其是有能隙的自旋液体，是 LGW 对称性破缺理论框架之外的物质形态，自旋液体中的分数化的元激发，是超越玻色子、费米子这样传统基本粒子分类的任意子（anyon），展现着长程量子纠缠的效应。量子自旋液体的理论发展，深入而蔚为大观，除了上面提到的分数化，任意子，长程量子纠缠等基本概念之外，拓扑纠缠熵、任意子凝聚与相变、对称性的分数化等等新的理论进展层出不穷。除了物理学家之外，数学家正在从张量范畴的角度理解这些问题，信息学家正在从量子信息的角度寻找可能的应用。但是，一个有些尴尬的事实是，物理学家还不知道该用什么样的实验手段，通过什么样的实验信号，可以确认量子自旋液体的存在和其所具有的特定的拓扑序。

在工作【3】中，我们通过动力学性质的计算给出解决方案。特定的拓扑序和其中任意子对称性分数化行为，可以在系统的自旋动力学性质中，也就是中子散射技术可以探测的自旋激发谱中，找到答案。

Fig.1 (a) Kagome 晶格量子自旋液体模型。J_+/-, J_z, J'_z为自旋之间的相互作用。A, B, C 为 Kagome晶格原胞中的三个格点。r₁, r₂ 是原胞之间的平移矢量。(b) Kagome 晶格的布里渊区，b₁,b₂ 是动量空间中的平移矢量。Γ, M, K 为布里渊区中的高对称点，连接高对称点之间的路径是自旋激发谱中动量的取值路径。(c) 和 (d) 是模型的基态相图。其中 (c) 为外磁场为零的情况，系统没有静磁矩 m=0。(d) 为外磁场不为零的情况，系统的静磁矩 m=1/6。在两种情况下，量子自旋液体相 (QSL) 都稳定存在【5】。沿着图中的红线，它们都会发生 vison 凝聚的相变进入对称性破缺的共振价键 (VBS) 相。在相变点附近，两种自旋液体的动力学行为不同，体现了其中vison 元激发的不同对称性分数化。

我们设计了 Fig.1 (a) 中的 2维 Kagome 晶格阻挫磁体模型，该模型可以用量子蒙特卡洛严格计算【5】，得到的相图如 Fig.1 (c) 和 (d) 所示。两个相图中都有量子自旋液体相(quantum spin liquid, QSL)，这里的QSL 具有 Z₂ 拓扑序，元激发是分数化的任意子： spinon 和 vison。Fig.1 (c) 和 (d)中的相图里，系统具有不同的外磁场的强度。Fig.1 (c) 中外磁场为零，QSL 没有静磁矩 (m=0)。Fig.1 (d) 中外磁场为有限值，系统有一个磁性背景 (m=1/6)。

Spinon 和 vison 做为Z₂ 拓扑序中的任意子，其统计具有交换编织的性质，这也是任意子不同与传统粒子 （玻色、费米）的地方。在没有静磁性的量子自旋液体中 (m=0)，vison 在系统中运动的时候，会看到每个 Kagome 晶格原胞中有奇数个 spinon。这可以理解为 Kagome 晶格的每个6边形中的自旋 Sz 处在3上3下的状态，3是奇数，奇数模2总是1，所以vison 在晶格上运动时就会和每个原胞中的 1个spinon 交换 ，从而带上了一个 π-flux 的相位，vison 的原胞也就比 Kagome 晶格原胞大了一倍，也就是说，vison 波函数的晶格平移对称性，由于 vison 和 spinon 之间的交换编织在 m=0 的 QSL 相中发生了分数化。而在另一方面，在有静磁性的量子自旋液体中 (m=1/6)，vison 在晶格上运动时看到每个 Kagome 晶格原胞中有偶数个 spinon。这可以理解为Kagome 晶格的每个6边形中自旋Sz处在 4上2下或者4下2上的状态，4和2都是偶数，偶数模2总是0，所以vison 在晶格上运动时与 spinon 交换偶数次，也就不会感受到任何相位调制，vison 的原胞和 Kagome 晶格原胞一样大 ，vison 波函数仍然具有 Kagome 晶格原本的平移对称性，没有发生分数化。

如上的理论分析，乍一看十分抽象，但是却预示着明确的动力学行为上的不同。在 Fig.1 (c) 和 (d) 中有两条红线，就是指出 m=0 和 m=1/6 的量子自旋液体，在向着同一个方向调节自旋相互作用时，都会发生相变进入共振价键相 (valence bond solid, VBS)。在相变发生的时候， vison 做为相关的元激发，会发生关闭能隙的凝聚行为。一般来说，普通的凝聚行为，比如玻色-爱因斯坦凝聚，在激发谱上会在动量为零（Γ = (0,0) 对于二维晶格）处关闭能隙，动量为零也就意味着实空间中所有的位置上都发生了同样的现象。但是记得在 m=0 的QSL 中  vison 的平移对称性已经发生了分数化，这就意味着此时 vison 发生凝聚的过程中，它们会在每隔一个格点的实空间原胞上发生凝聚。对应到动量空间，系统的自旋激发谱会在除了 Γ 点之外，在布里渊区边界的中点（M点）上也发生能隙关闭。而对于m=1/6 的QSL，其中 vsion 的平移对称性没有发生分数化，在 vison 发生凝聚的过程中，系统的自旋激发谱只会在 Γ 发生能隙关闭的现象。如此明确的动力学行为上的区别，就是 Fig.2 中通过 QMC+SAC计算所得的结果。

Fig.2 (a) m=0 量子自旋液体在 QSL-VBS 相变点附近的自旋激发谱，对应于 Fig.1 (c) 中红色路径。可以看到自旋激发谱在动量为 Γ 和 M 两个点，都关闭能隙，这正是Z₂QSL 中 vison 对称性分数化的结果。Inset 是 VBS 相中的静态自旋结构因子。因为 vison 的凝聚发生在 Γ 和 M 点，VBS 相的自旋结构因子在 Γ 和 M 点上都有峰，VBS 长程序破坏了 Kagome 晶格平移对称性。(b) m=1/6 量子自旋液体在 QSL-VBS 相变点附近的自旋激发谱，对应于 Fig.1 (d) 中红色路径。自旋激发谱只在动量为 Γ 的一个点关闭能隙。因为这里的  vison 没有发生对称性分数化。 Inset 是 VBS 相中的静态自旋结构因子。因为 vison 的凝聚只发生在 Γ 点，VBS 相的自旋结构因子只在 Γ 点上有峰，VBS 长程序具有 Kagome 晶格的平移对称性。

在Fig.2 (a) 中，我们画出了QMC+SAC 计算所得的自旋激发谱，这是 m=0 的量子自旋液体，在即将放生 QSL-VBS 相变时的情形，可以清楚地看到，对于 m=0 的自旋液体，其自旋激发谱（就是中子散射可以测量的）在动量空间中两个点（Γ, M）都有能隙关闭的迹象。而在 Fig.2 (b) 中，我们画出了QMC+SAC 计算所得的自旋激发谱，这是 m=1/6 的量子自旋液体，在即将发生QSL-VBS 相变时的情况，可以清楚地看到，对于 m=1/6 的自旋液体，其自旋激发谱只在一个点 （Γ） 关闭能隙。如 Fig.2 (a) 和 (b) 中所显示的两种情况下的不同自旋激发谱，童叟无欺，大家都能看得明白。这样一来，就解除了量子自旋液体现象（比如拓扑序和对称性的分数化等等抽象概念）本不该有的神秘性。除了理论物理学家之外，实验物理学家和普通的学生都能够看得明白。只要去测系统的自旋激发谱，就可以看到 Z₂ QSL的平移对称性分数化；而观测到这样明确的动力学行为，也反过来提供了 QSL 和其中的分数化的任意子存在的证据。这是很及时的结果，因为目前在量子自旋液体材料寻找的过程中，在中子散射实验中看到能量 (ω) – 动量 (q) 空间中连续谱并不困难，但是这并不意味着连续谱就是自旋波磁振子 (magnon) 分数化为自旋子(spinon) 或者其他任意子的证据。因为人们发现，在许多量子自旋液体的候选材料中，连续谱即可能来自于真正的自旋液体态，但也可能是材料中杂质散射所导致的假象，极有误导性，文献【6】中的研究，就是关于材料中杂质导致量子自旋液体假象的一个很好的例子。显然，只有如 Fig.2 中明确的动力学信号，才是指导实验进一步前进的坦途。

事例二前的小结

这篇文章讨论两个量子多体问题动力学研究的例子。事例一是量子物质科学新范式中物质形态（量子自旋液体）方面的代表；在文章的下一部分中，我们将会讨论动力学行为在量子物质科学新范式中量子相变（去禁闭量子相变）方面的代表，感兴趣的读者，可以先用参考文献中的【4，7，8，9】预习一下。

要之，通过以量子蒙特卡洛为代表的大规模数计算拟方法，结合场论等解析手段，理解、刻画并预测关联电子系统的动力学行为，推动理论和实验的进展，这样的工作才刚刚开始。如上面的事例所显示的，以量子自旋液体、去禁闭量子临界现象、非费米液体现象为代表的量子多体现象，正在日益动摇着凝聚态物理学中朗道-金兹伯格-威尔森相变理论和费米液体理论等传统的框架。以拓扑序、分数化、物质场与演生规范场耦合为代表的新的进展，正在呼唤着量子物质科学新范式的建立。在这个过程中，量子多体问题的动力学性质计算，打通了数值、理论与实验的界限，必将扮演着越来越关键的角色。

参考文献

[1] 海森堡模型的谱，到底有多靠谱

[2] Nearly deconfined spinon excitations in the square-lattice spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet, Hui Shao, Yan Qi Qin, Sylvain Capponi, Stefano Chesi, Zi Yang Meng, Anders W. Sandvik

Phys. Rev. X 7, 041072 (2017)

[3] Dynamical Signature of Symmetry Fractionalization in Frustrated Magnets,
Guang Yu Sun, Yan-Cheng Wang, Chen Fang, Yang Qi, Meng Cheng, Zi Yang Meng
arXiv:1803.10969 (PRL in press)

[4] Dynamical Signature of Fractionalization at the Deconfined Quantum Critical Point,
Nvsen Ma, Guang-Yu Sun, Yi-Zhuang You, Cenke Xu, Ashvin Vishwanath, 

Anders W. Sandvik, Zi Yang Meng
arXiv:1803.01180

[5] Quantum Spin Liquid with Even Ising Gauge Field Structure on Kagome Lattice,

Yan-Cheng Wang, Xue-Feng Zhang, Frank Pollmann, Meng Cheng, Zi Yang Meng,

arXiv:1711.03679 (PRL in press)

[6] Spin-Glass Ground State in a Triangular-Lattice Compound YbZnGaO4,

Zhen Ma, Jinghui Wang, Zhao-Yang Dong, Jun Zhang, Shichao Li, Shu-Han Zheng, Yunjie Yu, Wei Wang, Liqiang Che, Kejing Ran, Song Bao, Zhengwei Cai, P. Čermák, A. Schneidewind, S. Yano, J. S. Gardner, Xin Lu, Shun-Li Yu, Jun-Ming Liu, Shiyan Li, Jian-Xin Li, and Jinsheng Wen,

Phys. Rev. Lett. 120, 087201 (2018)

[7] 西斯廷教堂中的对偶变换

[8] Evidence for Deconfined Quantum Criticality in a Two-Dimensional Heisenberg Model with Four-Spin Interactions,

Anders W. Sandvik,

Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007)

[9] Quantum criticality with two length scales,

Hui Shao, Wenan Guo, Anders W. Sandvik,

Science 352, 213-216 (2016)

致谢

一如既往，笔者感谢合作者，感谢团队在这两篇工作【3，4】中的辛勤付出。这里有中科院物理所的博士生孙光宇，博士后马女森、王艳成，副研究员方辰，波士顿大学和中科院物理所教授 Anders W. Sandvik （善德伟），复旦大学副教授戚扬，耶鲁大学助理教授程蒙，加州大学圣地亚哥分校助理教授尤亦庄，圣塔芭芭拉分校副教授许岑珂，哈佛大学教授 Ashvin Vishwanath；感谢国家超级计算天津中心孟祥飞博士、赵洋工程师等人对我们大规模蒙特卡洛计算所提供的资源、技术方面的有力支持；也感谢中科院物理所宽容的环境，保护着科研人员们，让我们可以在混乱嘈杂的背景之下，不随波逐流，遵从内心的方向认真地从事创造。真正的科学发现，离不开这样的环境。

编辑：山寺小沙弥

本文经授权转载自《中科院物理所》微信公众号

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